Матеус Кунья родился 27 мая 1999 года в бразильском городе Жоан - Песоа. В возрасте одиннадцати лет Кунья переехал из родного города Жуан-Песоа в Ресифи, чтобы заниматься в тамошней школе футзала. В 2014 году он сменил вид спорта и начал играть в большой футбол в молодёжной команде клуба «Коритиба». Там Матеус стремительно прогрессировал в техническом плане и в 2017 году попал в клубную команду до 20 лет. Вместе с ней он ярко выступил на юношеском турнире Nike в Далласе, где за его игрой наблюдали скауты европейских клубов. Вскоре после турнира представители швейцарского «Сьона» сделали тогда ещё 17-летнему игроку предложение.

В июне 2017 года Кунья, которому только что исполнилось 18 лет, не имея никакого опыта выступлений на профессиональном уровне, переехал в Европу, заключив четырехлетний контракт со "Сьоном". В швейцарский клуб Кунью брали на перспективу, но он быстро доказал тренерскому штабу своё право играть в основном составе. Его профессиональный дебют состоялся 27 июля 2017 года в матче квалификации Лиги Европы против литовской "Седувы", который его команда проиграла со счетом 0:3. В швейцарской Суперлиге Матеус впервые сыграл 10 августа в матче против "Цюриха". В следующем матче чемпионата, 27 августа Кунья забил гол в ворота "Базеля". 19 мая 2018 года в игре заключительного тура против "Тюна" бразилец оформил первый в своей карьере хет-трик. Всего в сезоне 2017-18 он сыграл 32 матча, в которых забил 10 голов и сделал 8 голевых передач, стал лучьшим бомбардиром "Сьона".

24 июня 2018 года Кунья перешёл в немецкий клуб «РБ Лейпциг», с которым заключил контракт на пять лет. Стоимость трансфера составила 15 млн евро. 26 июля Матеус дебютировал в новом клубе, выйдя в стартовом составе на матч квалификации Лиги Европы со шведским «Хеккеном». В этом матче новичок отличился забитым голом и голевой передачей. В немецкой Бундеслиге Кунья дебютировал 26 августа, выйдя на замену в матче с дортмундской «Боруссией», в котором его команда уступила со счётом 1:4.

31 января 2020 года за 18 млн. евро перешел в берлинскую "Герту". В составе немецкого клуба Кунья проовел 40 матчей, забил 13 мячей.

25 августа 2021 года за 30 млн. евро стал игроком мадридского "Атлетико". Всего в составе "матрасников" бразилец провел 54 игры и забил 7 мячей.

1 января 2023 года перешел на правах аренды в английский "Вулверхэмптон" до конца сезона 2022-23. Летом 2023 года стал игроком "волков" на постоянной основе. 4 февраля 2024 года в гостевом матче против "Челси" стал 4-м игроком в истории Премьер-Лиги, сделавшим хет-трик на "Стэмфорд Бридж". Всего в составе "волков"  Матеус сыграл 88 матчей, забил 33 мяча.

1 июня 2025 года "Манчестер Юнайтед" обьявил, что договорился о трансфере игрока на "Олд Траффорд". 12 июня "красные льяволы обьявили о завершении трансфера Матеуса Куньи, который обошелся им в 62.5 млн. фунтов. Нападающий сборной Бразилии подписал с клубом контракт до июня 2030 года с опцией продления еще на один сезон.