Андре Онана родился 2 апреля 1996 года в Камеруне. Андре  — воспитанник академии Самюэля Это’о. В 2010 году он перешёл в систему «Барселоны» и выступал в её командах на протяжении пяти лет. В январе 2015 года состоялся переход Андре в амстердамский «Аякс». Сначала он выступал за вторую команду этого клуба в Эрстедивизи, в сезоне 2016/17 голкипер был переведён в основной состав. Его дебют в высшем дивизионе Нидерландов состоялся 20 августа 2016 года в матче против клуба «Виллем II».

В феврале 2021 года был дисквалифицирован на 12 месяцев за применение допинга. В допинг-пробе Онаны был обнаружен запрещённый препарат фуросемид. В официальном заявлении «Аякса» утверждается, что препарат попал в организм футболиста случайно — он по ошибке принял лекарство жены. В июне по решению Спортивного арбитражного суда срок дисквалификации сократили до 9 месяцев 24 ноября 2021 года, отбыв дисквалификацию, вернулся на поле в матче против «Бешикташа».Матч завершился победой «Аякса» со счётом 2:1 Онана выиграл три чемпионских титула и два Кубка Нидерландов в составе “Аякса”.

1 июля 2022 года перешёл в итальянский клуб «Интернационале», подписав пятилетний контракт. В сезоне 2022/23 помог «чёрно-синим» выиграть Суперкубок Италии и Кубок Италии, а также дойти до финала Лиги чемпионов, в которой стал рекордсменом по количеству сухих матчей в турнире. До переезда в Англию 27-летний камерунец провел 255 матчей в свой клубной карьере и 104 из них завершились с “сухим” счетом. 

20 июля 2023 года перешёл в  «Манчестер Юнайтед» за 43 млн фунтов, подписав пятилетний контракт.