Лисандро Мартинес родился 18 января 1998 года в аргентинском городе Гуалегуай. Он воспитанник клуба «Ньюэллс Олд Бойз». 28 июня 2017 года в матче против «Годой-Крус» он дебютировал в аргентинской Примере[5]. В том же году для получения игровой практики Мартинес был отдан в аренду в «Дефенса и Хустисия». 14 октября в матче против «Сан-Лоренсо» он дебютировал за новый клуб.5 ноября в поединке против «Темперлей» Лисандро забил свой первый гол за «Дефенсу и Хустисию». Летом 2018 года клуб выкупил трансфер Мартинеса за 550 тыс.евро.

20 мая 2019 года Мартинес подписал четырёхлетний контракт с амстердамским «Аяксом».Сумма трансфера составила 7 млн. евро. 3 августа в матче против «Витесса» он дебютировал в Эредивизи[9]. 28 сентября в поединке против «Гронингена» Лисандро забил свой первый гол за «Аякс» В составе клуба Мартинес дважды выиграл чемпионат и завоевал Кубок Нидерландов. В Нидерландах он получил прозвище "Мясник из Амстердама". Всего в составе "Аякса" он провел 120 матчей и забил 6 голов.

17 июля 2022 года «Манчестер Юнайтед» объявил о соглашении по переходу Мартинеса. 27 июля 2022 года игрок подписал с английским клубом контракт до 2027 года с опцией продления ещё на один год. Сумма трансфера составила 48,3 млн фунтов, но может вырасти до 56,7 млн фунтов в случае достижения определённых условий.