Алехандро Гарначо родился 1 июля 2004 года. Имеет испанское и аргентинское гражданство. Уроженец Мадрида, Гарначо выступал за молодёжную команду клуба «Атлетико Мадрид» с 2015 по 2020 год. 2 октября 2020 года присоединился к молодёжной команде «Манчестер Юнайтед». В сентябре 2021 года дебютировал в сборной Испании до 18 лет. В марте 2022 года получил вызов в национальную сборную Аргентины. 22 марта 2022 года дебютировал за сборную Аргентины до 20 лет в матче против сборной США. 1 июня 2022 года забил свой первый гол за сборную до 20 лет в матче Тулонского турнира против сборной Панамы.  28 апреля 2022 года дебютировал в основном составе «Манчестер Юнайтед» в матче Премьер-лиги против «Челси». 11 мая 2022 года выиграл Молодёжный кубок Англии, забив два мяча в финальном матче против «Ноттингем Форест». В сезоне 2021-22 стал обладателем клубного приза имени Джимми Мерфи "Лучшему молодому игроку года".