Эрик Бертран Байи родился 12 апреля 1994 года в Бинжервиле. В 2011 году в возрасте 17 лет был принят в клубную систему «Эспаньола», а разрешение на работу получил лишь в октябре следующего  года. В сезоне 2013-14  дебютировал на профессиональном уровне за молодежную команду «Эспаньола» в секунде «В».

5 октября 2014 года Эрик дебютировал в основном составе «Эспаньола» в Ла Лиге, выйдя на замену в концовке матче против «Реала» «Сосьедад» и после этого окончательно закрепился в основном составе клуба.

29 января 2015 года Байи подписал соглашение с «Вилльяреалом» сроком на 5.5 лет, что обошлось «подводникам» в 5.7 млн.евро. Молодой защитник призван был заменить в этом испанском клубе , ушедшего в «Арсенал» Габриэля Паулисту. 22 февраля Эрик дебютировал в составе своего нового клуба в матче против «Эйбара».В составе «Вилльяреала» Байи провел 47 матчей.

8 июня 2016 года Байи подписал четырехлетний контракт с «Манчестер Юнайтед».