Мэйсон Гринвуд родился 1 октября 2001 года в Уисби, Сити-оф- Брадфорд. Воспитанник Академии «Манчестер Юнайтед». Начинал выступать на позиции центрального атакующего полузащитника но впоследствии стал играть в роли нападающего. В сезоне 2017/18 Гринвуд забил 17 мячей в 17 матчах за команду «Юнайтед» до 18 лет. Летом 2018 года отправился вместе с первой командой в предсезонное турне по США. Выходил на замену в двух первых матчах турне против клубов «Америка» и «Сан-Хосе Эртквейкс». 2 октября 2018 года подписал свой первый профессиональный контракт с «Манчестер Юнайтед». В том же месяце был включён в список «20 лучших талантов английской Премьер-лиги» по версии газеты The Guardian.

12 декабря 2018 года был включён в заявку первой команды «Манчестер Юнайтед» на матч группового этапа Лиги чемпионов против «Валенсии», проведя всю игру на скамейке запасных. 17 декабря 2018 года сделал хет-трик в матче Молодёжного кубка Англии против «Челси».

В основном составе «Юнайтед» Мейсон Гринвуд дебютировал 6 марта 2019 года в матче Лиги Чемпионов против «Пари Сен-Жермен», выйдя на замену Эшли Янгу, и стал самым молодым игроком «Манчестер Юнайтед», сыгравшим в Лиге Чемпионов (ему было 17 лет и 156 дней).

В сезоне 2018-19 Мэйсон Гринвуд забил в составе команды «Манчестер Юнайтед» до 18 лет 30 голов в 29 матчах, и по итогам сезона стал обладателем клубного приза Джимми Мерфи «Лучшему молодому игроку клуба».